റീമൻ സിദ്ധാന്തം. പ്രധാന സംഖ്യകളുടെ വിതരണം

കഴിഞ്ഞ നൂറ്റാണ്ടിലെ ഏറ്റവും മഹാനായ ശാസ്ത്രജ്ഞരിൽ ഒരാളായ ഡേവിഡ് ഹിൽബെർട്ട് 1900 ൽ ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ 23 പരിഹരിക്കാത്ത പ്രശ്നങ്ങളുള്ള ഒരു പട്ടിക തയ്യാറാക്കി. മനുഷ്യ വിജ്ഞാനത്തിന്റെ ഈ മേഖലയുടെ വികസനത്തിൽ അവയ്ക്ക് വലിയ പ്രഭാവമുണ്ടായിരുന്നു. 100 വർഷത്തിനു ശേഷം, ക്ലേ മങ്കിറ്റിക്കൽ ഇൻസ്റ്റിറ്റ്യൂട്ട് മില്ലെനിയം വെല്ലുവിളി എന്നറിയപ്പെടുന്ന 7 പ്രശ്നങ്ങളുടെ ഒരു പട്ടിക അവതരിപ്പിച്ചു. ഓരോരുത്തരുടെയും തീരുമാനത്തിന് 1 ദശലക്ഷം ഡോളർ സമ്മാനമായി നൽകപ്പെട്ടു.

ഒരേയൊരു പ്രശ്നം രണ്ട് ചിഹ്നങ്ങളുടെ പട്ടികയിൽ ഇടംപിടിച്ച ഒരേയൊരു പ്രശ്നം, നൂറിലധികം നൂറ്റാണ്ടുകളിൽ സംശയിക്കപ്പെടാത്ത ശാസ്ത്രജ്ഞർ, റീമൻ സിദ്ധാന്തം ആയി മാറിയിരിക്കുന്നു. അവളുടെ തീരുമാനത്തിന് അവൾ ഇപ്പോഴും കാത്തിരിക്കുന്നു.

ലഘു ജീവചരിത്ര കുറിപ്പുകൾ

1826-ൽ ഒരു പാവപ്പെട്ട പാസ്റ്ററിന്റെ വലിയ കുടുംബത്തിൽ ഹാനോവറിൽ ജനിച്ചു. 39 വർഷം മാത്രം ജീവിച്ചിരുന്ന ജോർജ് ഫ്രെഡറിക് ബെർഹാർഡ് റൈമാൻ പത്ത് കൃതികൾ പ്രസിദ്ധീകരിച്ചു. എങ്കിലും, ഇതിനകം തന്റെ ജീവിതകാലത്ത് റീമൻ തന്റെ അദ്ധ്യാപകനായ ജോഹാൻ ഗൗസിന്റെ പിൻഗാമിയായി കണക്കാക്കപ്പെട്ടു. 25-ആം വയസ്സിൽ യുവ ശാസ്ത്രജ്ഞൻ, "ഒരു സങ്കീർണ്ണ വേരിയന്റെ പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ അടിത്തറ" എന്ന പ്രബന്ധത്തിന് വാദിച്ചു. പിന്നീട് അദ്ദേഹം തന്റെ സ്വന്തം സിദ്ധാന്തം അവതരിപ്പിച്ചു.

പ്രധാന നമ്പറുകൾ

ഒരാൾ എണ്ണാൻ പഠിച്ചപ്പോൾ ഗണിതശാസ്ത്രം പ്രത്യക്ഷപ്പെട്ടു. അതേസമയം, സംഖ്യകളെ പറ്റിയുള്ള ആദ്യ ആശയങ്ങൾ പ്രത്യക്ഷപ്പെട്ടു, പിന്നീട് അതിനെ വർഗ്ഗീകരിക്കാൻ ശ്രമിച്ചു. അവയിൽ ചിലത് പൊതുവായ സ്വഭാവസവിശേഷതകളുള്ളതായി കണ്ടു. പ്രത്യേകിച്ചും, പ്രകൃതി സംഖ്യകളിൽ, അതായത്, എണ്ണം (എണ്ണം) അല്ലെങ്കിൽ വസ്തുക്കളുടെ എണ്ണം സൂചിപ്പിക്കാൻ ഉപയോഗിച്ചവ, ഒരു കൂട്ടം വിഭജിച്ച് തങ്ങളെത്തന്നെ ഒറ്റപ്പെടുത്തുകയും ചെയ്തു. അവരെ ലളിതമായി വിളിച്ചു. അത്തരം സംഖ്യകളുടെ ഇൻഫിനിറ്റിയുടെ സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ ഒരു സുന്ദര തെളിവ് യൂക്ലിഡ് അദ്ദേഹത്തിന്റെ "തുടക്കം" ൽ നൽകിയിരുന്നു. ഇപ്പോൾ അവരുടെ തിരയൽ തുടരുന്നു. പ്രത്യേകിച്ചും ഏറ്റവും കൂടുതൽ അറിയപ്പെടുന്നതിൽ ഏറ്റവും വലുത് 2 ^{74 207 281} - 1 ആണ്.

ഓയിലർ ഫോർമുല

പ്രാഥമിക നമ്പറുകളുടെ സങ്കലനം എന്ന സങ്കല്പമായി, യൂക്ലിഡ് രണ്ടാമത്തെ സിദ്ധാന്തം സാധ്യമായ പ്രാഥമിക ഘടകത്തിൽ മാത്രമേ നിർവ്വചിച്ചിട്ടുള്ളൂ. ഇതുപ്രകാരം, ഒരു നിശ്ചിത പൂർവ്വാവസ്ഥ മാത്രമാണ് പ്രോത്സാഹനമായ ഒരു കൂട്ടം. 1737-ൽ മഹാനായ ജർമ്മൻ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ ലിയോനാർഡ് യൂലർ യൂണിലിഡിന്റെ ആദ്യത്തെ സിദ്ധാന്തം അനാവൃതത്തെ താഴെ നൽകിയിരിക്കുന്ന ഫോർമുലയുടെ രൂപത്തിൽ പ്രകടിപ്പിച്ചു.

ഇതിനെ 'zeta' ഫങ്ഷൻ എന്ന് വിളിക്കുന്നു, ഇവിടെ s ഒരു സ്ഥിരാങ്കം ആണ്, കൂടാതെ p എല്ലാ ലളിതമായ മൂല്യങ്ങളും എടുക്കുന്നു. അതിൽ നിന്ന് നേരിട്ട് പിൻപറ്റിപ്പോയത് യൂക്ലിഡിന്റെ പ്രസ്താവനയാണ്.

റീമൻ സെറ്റ പ്രവർത്തനം

അടുത്തുള്ള പരിശോധനയ്ക്കുള്ള ഓയിലർ ഫോർമുല വളരെ ആശ്ചര്യകരമാണ്, കാരണം ഇത് സംഖ്യയും പൂർണ്ണസംഖ്യയും തമ്മിലുള്ള അനുപാതം സജ്ജമാക്കുന്നു. അതിന്റെ ഇടതുഭാഗത്ത് അനന്തമായ നിരവധി എക്സ്പ്രഷനുകൾ ഗുണിതമാണ്, ലളിതമായവയെ മാത്രം ആശ്രയിച്ച്, എല്ലാ പോസിറ്റീവ് സംഖ്യകളുമായും ബന്ധപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന തുക വലത് ആണ്.

റീമൻ ഓളിയെക്കാൾ കൂടുതൽ പോയി. സംഖ്യകളുടെ വിതരണത്തിലെ പ്രശ്നം കണ്ടുപിടിക്കാൻ, യഥാർത്ഥവും സങ്കീർണ്ണവുമായ വേരിയബിളുകൾക്കുള്ള ഫോർമുല നിർണ്ണയിക്കാൻ അദ്ദേഹം നിർദ്ദേശിച്ചു. പിന്നീട് റീമൻ സെറ്റ ഫങ്ഷൻ എന്ന പേരിൽ അറിയപ്പെട്ടു. 1859 ൽ ശാസ്ത്രജ്ഞൻ "ഒരു മൂല്യത്തിന് പരിധി നിശ്ചയിക്കുന്ന പ്രധാന സംഖ്യകളുടെ എണ്ണത്തിൽ" എന്ന തലക്കെട്ടിനനുസരിച്ച് ഒരു ലേഖനം പ്രസിദ്ധീകരിച്ചു, അവിടെ അദ്ദേഹം തന്റെ എല്ലാ ആശയങ്ങളും ചുരുക്കി.

> റിയർമാൻ ഓയ്ലർ പരമ്പരയെ ഉപയോഗിച്ചു നിർത്തി, ഏതെങ്കിലും വസ്തുക്കൾ> 1 എന്ന സംഖ്യക്ക് യോജിച്ചു. സങ്കീർണ്ണമായ സങ്കല്പങ്ങൾക്ക് അതേ സമവാക്യം പ്രയോഗിച്ചാൽ, ഈ വേരിയബിളിന്റെ ഏതെങ്കിലും മൂല്യങ്ങൾക്കായി പരമ്പരകൾ ഒന്നിച്ചുചേർക്കും. 1. റൈമാൻ അനാലിറ്റിക്സ് തുടർച്ച എന്ന പ്രക്രിയയെ പ്രയോഗിക്കുകയും, സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകളുടെ സങ്കലനം എല്ലാ സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകളിലേക്കും നീട്ടുകയും, "യൂണിറ്റിനെ" പുറത്താക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. അതു് ഒഴിവാക്കപ്പെട്ടതു്, കാരണം s = 1 എന്നതിനായി zeta പ്രവർത്തനം അനന്തമായി വർദ്ധിക്കുന്നു.

പ്രായോഗിക അർഥം

ഒരു സ്വാഭാവിക ചോദ്യം ഉയർന്നുവരുന്നു: രേതാ ഫ്യൂണെറ്റിസിലുള്ള രേവന്റെ കൃതിയിൽ രസകരമായ ഒരു സെറ്റ ഫംഗ്ഷൻ എന്താണ് രസകരവും പ്രധാനവും? അറിയപ്പെടുന്നതുപോലെ, ഇപ്പോൾ അക്കങ്ങൾ സ്വാഭാവിക നമ്പറുകളിലുള്ള പ്രധാന സംഖ്യകളുടെ വിതരണം വിവരിക്കുന്ന ലളിതമായ പാറ്റേൺ ഇല്ല. X -ല് കവിയാത്ത വലുപ്പമുള്ള അക്കങ്ങളുടെ നമ്പര് p (x) zeta ഫംഗ്ഷന്റെ nontrivial zeros വിതരണത്തിലൂടെ വെളിപ്പെടുത്തി എന്ന് റീമണ് വിജയിച്ചു. കൂടാതെ, ചില ക്രിപ്റ്റോഗ്രാഫിക്ക് അൽഗോരിതങ്ങൾ പ്രവർത്തിപ്പിക്കാനുള്ള സമയം കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള റീമൻ സിദ്ധാന്തം അത്യാവശ്യമാണ്.

റീമൻ സിദ്ധാന്തം

ഈ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രശ്നത്തിന്റെ ആദ്യ സൂചനകളിലൊന്ന്, ഇന്നുവരെ തെളിയിക്കപ്പെട്ടിട്ടില്ല. ഇങ്ങനെയുള്ള ശബ്ദങ്ങൾ: സുതാര്യമല്ലാത്തവ 0: zeta ഫങ്ഷനുകൾ സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകളാണ്. മറ്റൊരു രീതിയിൽ പറഞ്ഞാൽ, അവർ Re = ½ വരിയിൽ സ്ഥിതി ചെയ്യുന്നു.

സാധാരണയായുള്ള റീമൻ ഹൈപ്പൊസിസിസുണ്ട്, അത് ഒരേ വാദം തന്നെ. എന്നാൽ ഡിറ്റിചേലെറ്റ് എൽ-ഫംഗ്ഷനുകൾ (ചുവടെയുള്ള ഫോട്ടോ കാണുക) എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്ന സെറ്റ-പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ പൊതുവായവയെ സംബന്ധിക്കുന്നതാണ്.

സമവാക്യത്തിൽ, χ (n) എന്നത് ചില സംഖ്യാ അക്ഷരങ്ങളാണ് (modulo k).

ലഭ്യമായ മാതൃക സാമ്പിൾ ഡാറ്റയുമായി പൊരുത്തപ്പെടാൻ വേണ്ടി റീമാനിയൻ നിർദ്ദേശം, നൾ ഊഹക്കച്ചവട പരിപാടി എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നു.

റീമൻ ന്യായവാദം ചെയ്തത് പോലെ

ജർമ്മൻ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞന്റെ പ്രസ്താവന യാഥാർഥ്യമായാണു യഥാർത്ഥത്തിൽ രൂപപ്പെടുത്തിയത്. അക്കാലത്ത് പ്രാഥമിക സംഖ്യകളുടെ വിതരണത്തിൽ ശാസ്ത്രജ്ഞൻ ഈ സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കുകയായിരുന്നു. ഈ പശ്ചാത്തലത്തിൽ ഈ സിദ്ധാന്തത്തിന് പ്രത്യേക പ്രാധാന്യം ഉണ്ടായിരുന്നില്ല. എന്നിരുന്നാലും, മറ്റു പല പ്രശ്നങ്ങളും പരിഹരിക്കുന്നതിൽ അതിന്റെ പങ്ക് വളരെ വലുതാണ്. അതുകൊണ്ടുതന്നെ പല ശാസ്ത്രജ്ഞരും റീമന്റെ അനുമാനം തെളിയിക്കാനാവാത്ത ഗണിത പ്രശ്നങ്ങൾക്ക് പ്രാധാന്യം നൽകുന്നു.

വിതരണ സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കാനായി ഇതിനകം സൂചിപ്പിച്ചപോലെ, പൂർണ്ണമായ റീമാൻ ഹൈപ്പൊസിറ്റീസിനു ആവശ്യമില്ല. Zeta ഫങ്ഷന്റെ ഏതെങ്കിലും തരത്തിലുള്ള ഏതെങ്കിലും പൂജ്യം പൂജ്യം യഥാക്രമം 0 മുതൽ 1 വരെ ഇടവേളയിൽ ആണെന്ന് ന്യായമായും ന്യായീകരിക്കാൻ മതിയാകും. ഈ ആസ്തിയിൽ നിന്ന് ഇത് 0-m മുകളിൽ കൊടുത്തിട്ടുള്ള കൃത്യമായ സൂത്രവാക്യത്തിൽ പ്രത്യക്ഷപ്പെടുന്ന സീറ്റ സവിശേഷതകൾ ഒരു നിശ്ചിത കോൺസ്റ്റന്റന്റാണ്. X ന്റെ വലിയ മൂല്യങ്ങൾക്കു്, ഇതു് നഷ്ടപ്പെടും. സമചതുരത്തിന്റെ ഏക അംഗം വളരെ വലിയ x നു തന്നെ മാറ്റമില്ലാതെ നിൽക്കുന്നു. ബാക്കിയുള്ള സമ്മിശ്ര പദങ്ങൾ അതിനെ താരതമ്യം ചെയ്യുമ്പോൾ അപ്രത്യക്ഷമാവുകയാണ്. അതിനാൽ, തൂക്കമുള്ള തുക x എന്ന സംഖ്യയാണ്. ഈ സംവിധാനത്തെ പ്രധാന സംഖ്യകളുടെ വിതരണത്തിലെ സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ സത്യമെന്ന് സ്ഥിരീകരിക്കാൻ കഴിയും. അങ്ങനെ, റിമേൻ സെറ്റ-ഫംഗ്ഷന്റെ പൂജ്യത്തിന് പ്രത്യേക പങ്ക് ഉണ്ട്. അത്തരം മൂല്യങ്ങൾ എക്സ്പാൻഷൻ ഫോർമുലയിൽ ഗണ്യമായ സംഭാവന നൽകാൻ കഴിയില്ലെന്ന് തെളിയിക്കുന്നതിൽ ഇത് ഉൾപ്പെടുന്നു.

റീമന്റെ അനുയായികൾ

ക്ഷയരോഗബാധിതമായ ഈ മരണം ഈ ശാസ്ത്രജ്ഞനെ തന്റെ പരിപാടിക്ക് അതിന്റെ യുക്തിസഹമായ പരിണാമത്തിലേക്ക് കൊണ്ടുവരാൻ അനുവദിച്ചില്ല. എന്നിരുന്നാലും, അവൻ സെന്റ്. ഡെ ല വലെലീ പൗസിൻ, ജാക്ക് ഹദാമാർഡ്. പരസ്പരം പരിഗണിക്കാതെ, പ്രധാന സംഖ്യകളുടെ വിതരണത്തിൽ ഒരു സിദ്ധാന്തം അവർ വികസിപ്പിച്ചെടുത്തു. Zeta ഫങ്ഷനുകൾ എല്ലാം നിർണ്ണായക ബാനിലുണ്ടെന്ന് തെളിയിക്കുന്നതിൽ ഹദഡഡും Poussin ഉം വിജയിച്ചു.

ഈ ശാസ്ത്രജ്ഞരുടെ പ്രവർത്തനത്തിന് നന്ദി, ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെ ഒരു പുതിയ ദിശ - അനലിറ്റിക് നം സിദ്ധാന്തം - ഉരുത്തിരിഞ്ഞു. പിന്നീട്, മറ്റു ഗവേഷകർ റെയ്മൻ പ്രവർത്തിച്ചിരുന്ന സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ പ്രാഥമിക തെളിവുകൾ നേടി. പ്രത്യേകിച്ചും, Pal Erdes ഉം Atle Selberg ഉം വളരെ സങ്കീർണ്ണമായ ഒരു ലോജിക്കൽ ചെയിൻ കണ്ടുപിടിക്കുകയും ചെയ്തു, അത് സങ്കീർണമായ വിശകലനത്തിന്റെ ഉപയോഗം ആവശ്യമായിരുന്നില്ല. ഈ കാലഘട്ടത്തിൽ, പല സിദ്ധാന്തങ്ങളുടെയും പല പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ഏകദേശ രൂപവും ഉൾപ്പെടെ പല പ്രധാന സിദ്ധാന്തങ്ങളും ഇതിനകം റെമൻ ആശയത്തിലൂടെ തെളിഞ്ഞുവന്നു. ഇക്കാര്യത്തിൽ, എർഡസിന്റെയും ആറ്റൽ സെൽബർഗിന്റെയും പുതിയ സൃഷ്ടികൾ പ്രായോഗികമായി ഒന്നും ചെയ്തില്ല.

1980-ൽ ഡൊണാൾഡ് ന്യൂമാനാണ് ഈ പ്രശ്നത്തിന്റെ ഏറ്റവും ലളിതവും മനോഹരവുമായ തെളിവുകൾ കണ്ടെത്തിയത്. ഇത് കച്ചിയുടെ പ്രസിദ്ധമായ സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ അടിസ്ഥാനത്തിലാണ്.

ആധുനിക ക്രിപ്റ്റോഗ്രാഫി അടിസ്ഥാനങ്ങൾ ഭീകരമാണെന്ന റിമേനിയൻ സിദ്ധാന്തം ഭീഷണിപ്പെടുത്തുന്നുണ്ടോ?

ഹൈറോഗ്ലിഫുകളുടെ ആഗമനത്തോടെ ഡാറ്റാ എൻക്രിപ്ഷൻ ഉയർന്നുവന്നു, കൂടുതൽ കൃത്യമായി അവർ തന്നെ തന്നെ ആദ്യ കോഡുകളായി കണക്കാക്കാം. ഇപ്പോൾ ഡിജിറ്റൽ ക്രിപ്റ്റോഗ്രാഫിക്ക് ഒരു മുഴുവൻ വരിയും ഉണ്ട്, ഇത് എൻക്രിപ്ഷൻ അൽഗോരിതങ്ങൾ വികസിപ്പിക്കുന്നു.

ലളിതവും "semisimple" സംഖ്യകളും, അതായത്, ഒരേ ക്ലാസ്സിൽ നിന്നുള്ള മറ്റ് 2 അക്കങ്ങൾ കൊണ്ട് മാത്രം വിഭജിക്കുന്നവ, ആർഎസ്എ എന്നറിയപ്പെടുന്ന ഒരു പബ്ലിക് കീ സിസ്റ്റം അനുസരിച്ചാണ്. ഏറ്റവും വിപുലമായ അപേക്ഷയുണ്ട്. പ്രത്യേകിച്ച്, ഒരു ഇലക്ട്രോണിക് ഒപ്പ് സൃഷ്ടിക്കുമ്പോൾ അത് ഉപയോഗപ്പെടുത്തുന്നു. "ടീപ്പോറ്റുകൾ" ആക്സസ് ചെയ്യാവുന്ന പദങ്ങളിൽ സംസാരിക്കുകയാണെങ്കിൽ, പ്രധാന സംഖ്യകളുടെ വിതരണത്തിൽ ഒരു സിസ്റ്റം നിലവിലുണ്ടെന്ന് റീമൻ അനുമാനം പറയുന്നു. അതിനാൽ, ഇ-കൊമേഴ്സിൽ ഓൺലൈൻ ഇടപാടുകളുടെ സുരക്ഷയെ ആശ്രയിച്ചുള്ള ക്രിപ്റ്റോഗ്രാഫിക് കീകളുടെ റോബസ്, ഗണ്യമായി കുറയുന്നു.

മറ്റ് പരിഹരിക്കപ്പെടാത്ത ഗണിത പ്രശ്നങ്ങൾ

സഹസ്രാബ്ദത്തിന്റെ മറ്റ് ജോലികൾക്കായി കുറച്ച് വാക്കുകൾ സമർപ്പിച്ച് അർഥവത്തായ ലേഖനം പൂർത്തിയാക്കുക. ഇവ താഴെ പറയുന്നു:

• ക്ലാസുകൾ പി, എൻ പി എന്നിവയുടെ സമത്വം. പ്രശ്നം ഒരു പ്രശ്നമായി മുന്നോട്ടുവെയ്ക്കുന്നു: ഒരു പ്രത്യേക ചോദ്യത്തിനുള്ള ഒരു പ്രത്യേക ഉത്തരം ബഹുശാസ്ത്രപരമായ സമയത്തിനായി പരിശോധിച്ചാൽ, ഈ ചോദ്യത്തിനുള്ള ഉത്തരം പെട്ടെന്ന് കണ്ടെത്താൻ കഴിയുമോ എന്നത് ശരിയാണോ?
• ഹോഡ്ജ് സിദ്ധാന്തം. ലളിതമായി പറഞ്ഞാൽ, താഴെപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ രൂപംനൽകാം: ചില തരത്തിലുള്ള പ്രൊജക്റ്റീവ് ബീജീയ ഇനങ്ങൾ (സ്പേസുകൾ), ഹോഡ്ജ് സൈക്കിൾസ് ജിയോമെട്രിക് വ്യാഖ്യാനം, അതായത് ബീജീയ ചക്രങ്ങൾ ഉള്ള വസ്തുക്കളുടെ കൂട്ടിച്ചേർക്കലാണ്.
• എസ്. സഹസ്രാബ്ദത്തിന്റെ പ്രശ്നങ്ങളിൽ ഒന്നു മാത്രമാണ് ഇത് തെളിയിക്കപ്പെട്ടത്. ഇത് പ്രകാരം, ത്രിമാന ദ്വയാണത്തിൻറേതായ പ്രത്യേക ഗുണങ്ങളുള്ള ത്രിമാന വസ്തു ഒരു വ്യതിയാനത്തിലേക്ക് ഒരു ഗോളമായിരിക്കണം.
• ക്വാണ്ടം യാങ്-മിൽസ് സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ ദൃഢനിശ്ചയം. ഈ ശാസ്ത്രജ്ഞൻമാർ വികസിപ്പിച്ച ക്വാണ്ടം സിദ്ധാന്തം, സ്പെക്ട്രം R ^{4 ന്} നിലനിൽക്കുന്നുണ്ടെന്നും, ലളിതമായ ഗേജ്ഗ്രൂപ്പ് കോംപാക്റ്റ് ഗ്രൂപ്പ് ജിക്ക് 0-ആം പിണ്ഡം ഉണ്ട് എന്ന് തെളിയിക്കേണ്ടതുണ്ട്.
• ബിർച്ച്-സ്വിനേർടൺ-ഡയർ അനുമാനം. ക്രിപ്റ്റോഗ്രാഫിക്ക് ബന്ധപ്പെട്ട മറ്റൊരു പ്രശ്നമാണിത്. അതു ദീർഘവൃത്താകൃതിയിലുള്ള വക്വുകളുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു.
• Navier-Stokes സമവാക്യങ്ങളുടെ പരിഹാരങ്ങളുടെ സുഗമവും നിലനിൽപ്പും.

ഇപ്പോൾ നിങ്ങൾ റീമിയൻ സിദ്ധാന്തം അറിയുന്നു. ലളിതമായ വാക്കുകളിൽ, സഹസ്രാബ്ദത്തിന്റെ മറ്റു ചില ജോലികളും ഞങ്ങൾ രൂപപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ട്. അവർ പരിഹരിക്കപ്പെടുമെന്നോ അവർക്ക് പരിഹാരം ഇല്ല എന്ന് തെളിയിക്കപ്പെടുകയോ ചെയ്യുന്ന സമയം എന്നത് ഒരു സമയം കൂടിയാണ്. കമ്പ്യൂട്ടറുകളുടെ കമ്പ്യൂട്ടിംഗ് ശേഷികളെ ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ കൂടുതൽ ഗൌരവമായി ഉപയോഗിക്കുന്നതിനാലാണ് ഇത് ദീർഘകാലം കാത്തിരിക്കേണ്ടത്. എന്നിരുന്നാലും, എല്ലാം സാങ്കേതികവിദ്യയ്ക്ക് വിധേയമല്ല, ശാസ്ത്രീയ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന്, അവബോധവും സർഗ്ഗവൈഭവവും ആദ്യം ആവശ്യമാണ്.