കോംപ്ലക്സ് നമ്പറുകൾ. "സാങ്കൽപ്പിക അളവുകളുടെ" അർഥവും പരിണാമവും

നമ്പറുകൾ വിവിധ കണക്കുകൂട്ടലുകളും കണക്കുകൂട്ടലുകളും ആവശ്യമായ അടിസ്ഥാന ഗണിത വസ്തുക്കളാണ്. സ്വാഭാവികവും, പൂർണ്ണസംഖ്യയും, യുക്തിബോധവും, യുക്തിചിന്തവുമായ സംഖ്യാ മൂല്യങ്ങൾ, യഥാർത്ഥ സംഖ്യകൾ എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്ന ഒരു കൂട്ടം രൂപീകരിക്കുന്നു. എന്നാൽ അസാധാരണമായ വിഭാഗവും - റിനെ ഡെസ്കാർട്ടാണ് "സാങ്കൽപ്പിക മൂല്യങ്ങൾ" എന്ന് നിർവചിച്ച സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകൾ. പതിനെട്ടാം നൂറ്റാണ്ടിലെ പ്രമുഖ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞന്മാരിൽ ഒരാളായ ലിയോണാർദ് യൂലർ, ഫ്രഞ്ച് വാക്കായ imaginare ൽ നിന്ന് കത്ത് ഞാൻ സൂചിപ്പിക്കാൻ നിർദ്ദേശിച്ചു. സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകൾ എന്താണ്?

A + b എന്ന രൂപത്തിന്റെ a + bi ആയ രൂപങ്ങൾ, a, b എന്നിവ യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളാണ്, ഞാൻ ഒരു പ്രത്യേക മൂല്യത്തിന്റെ ഡിജിറ്റൽ സൂചകമാണ്, ഇതിൻറെ സ്ക്വയർ -1 ആണ്. സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകളിലെ പ്രവർത്തനങ്ങൾ ബഹുപദസമതി ലുള്ള വിവിധ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ അതേ നിയമങ്ങളാൽ നടപ്പാക്കപ്പെടുന്നു. ഈ ഗണിത വിഭാഗത്തിൽ ഏതെങ്കിലും അളവുകൾ അല്ലെങ്കിൽ കണക്കുകൂട്ടൽ ഫലങ്ങൾ പ്രകടിപ്പിക്കുന്നില്ല. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളുള്ളത്ര മതി. പിന്നെ അവർക്ക് എന്താണ് വേണ്ടത്?

സങ്കീർണ സംഖ്യകൾ, ഒരു ഗണിത സങ്കൽപമായി, അനിവാര്യമാണ്, കാരണം യഥാർത്ഥ ഗുണങ്ങൾ ഉള്ള ചില സമവാക്യങ്ങൾക്ക് "സാധാരണ" നമ്പറുകളിലുള്ള പരിഹാരങ്ങൾ ഇല്ല. അതിനാൽ, അസമത്വങ്ങൾ പരിഹരിക്കാനുള്ള സാധ്യത വർദ്ധിപ്പിക്കാൻ ഒരു പുതിയ ഗണിത വിഭാഗമുണ്ടാക്കേണ്ടതുണ്ട്. സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകൾ, പ്രധാനമായും ഒരു അമൂർത്തമായ സൈദ്ധാന്തിക മൂല്യമുണ്ട്, x2 + 1 = 0 പോലുള്ള പരിഹാരങ്ങൾ അനുവദിക്കുക. ശ്രദ്ധാപൂർവ്വം, എല്ലാ വർണശക്തികളും ഈ വിഭാഗത്തിൽ പെടുന്നതും വളരെയധികം സജീവമായും വ്യാപകമായി ഉപയോഗിക്കുന്നു, ഉദാഹരണമായി, വിവിധ പ്രായോഗിക പരിഹാരങ്ങൾ ഇലാസ്തികത, ഇലക്ട്രിക്കൽ എൻജിനീയറിങ്, എയറോഡൈനാമിക്സ്, ഹൈഡ്രോമെക്കാനിക്സ്, ആറ്റോമിക് ഭൗതികശാസ്ത്രം, മറ്റു ശാസ്ത്രീയ പഠന വിഷയങ്ങൾ എന്നിവയാണ് ടാസ്ക്കുകൾ.

ഗ്രാഫുകൾ നിർമ്മിക്കുമ്പോൾ ഒരു സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യയുടെയും ഘടകം ഉപയോഗിക്കും. ഈ രചന എഴുത്ത് ട്രിഗോനോമെട്രിക് എന്നറിയപ്പെടുന്നു. കൂടാതെ, ഈ സംഖ്യകളുടെ ജ്യാമിതീയ വ്യാഖ്യാനം അവരുടെ അപേക്ഷയുടെ വ്യാപ്തി വർദ്ധിപ്പിക്കുകയും ചെയ്തു. വിവിധ കാർട്ടോഗ്രാഫിക് കണക്കുകൂട്ടലുകൾക്ക് ഇത് ഉപയോഗിക്കാൻ സാധിച്ചു.

ലളിതമായ സംഖ്യകളിൽ നിന്ന് സങ്കീർണമായ സങ്കീർണ സംവിധാനങ്ങളിലേക്കും അവയുടെ പ്രവർത്തനങ്ങളിലേക്കും ഒരു ഗണിതശാസ്ത്ര ഗണിത ഗണിതശാസ്ത്ര ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ നിന്നും മാറിയിരിക്കുന്നു ഈ വിഷയത്തിൽ നിങ്ങൾ ഒരു പ്രത്യേക പാഠപുസ്തകത്തിൽ എഴുതാം. ഇവിടെ നമുക്ക് പരിണാമ സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ ചില പരിണതഫലങ്ങൾ മാത്രമേ പരിഗണിക്കൂ. തന്നിട്ടുള്ള ഗണിതശാസ്ത്ര വിഭാഗത്തിന്റെ ഉയർച്ചയ്ക്കായുള്ള ചരിത്രപരവും ശാസ്ത്രപരവുമായ മുൻകരുതലുകൾ വ്യക്തമാവുന്നു.

പുരാതന ഗ്രീക്ക് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ "യഥാർത്ഥ" പ്രത്യേകമായി കണക്കാക്കുന്നത് സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളാണ് . ഇതിനകം ബി.സി. രണ്ടാം സഹസ്രാബ്ദത്തിൽ. E. പല പ്രായോഗിക കണങ്ങളിലും പുരാതന ഈജിപ്തുകാർക്കും ബാബിലോണിയർക്കുമെല്ലാം ഭിന്നകങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ചു. ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ വികസനത്തിലെ അടുത്ത പ്രധാനപ്പെട്ട നാഴികക്കല്ലുകൾ നമ്മുടെ യുഗത്തിനു മുമ്പ് രണ്ട് നൂറ്റാണ്ടുകൾക്ക് മുൻപുള്ള ചൈനയിലെ നെഗറ്റീവ് നമ്പറുകളുടെ രൂപമാണ്. പുരാതന ഗ്രീക്ക് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ ഡയോഫാന്റസ് അവ ഉപയോഗിക്കുകയും, അവയിൽ ലളിതമായ പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ നിയമങ്ങൾ അറിഞ്ഞു. നെഗറ്റീവ് നമ്പറുകളുടെ സഹായത്തോടെ, പോസിറ്റീവായ വിമാനത്തിൽ മാത്രമല്ല വിവിധ അളവുകളിൽ മാറ്റങ്ങൾ വരുത്താൻ സാധിച്ചു.

നമ്മുടെ യുഗത്തിലെ ഏഴാം നൂറാം നൂറ്റാണ്ടിൽ, പോസിറ്റീവ് നമ്പറുകളുടെ ചതുര വേരുകൾ എപ്പോഴും രണ്ട് അർഥങ്ങളുണ്ടെന്ന് കൃത്യമായി നിർണ്ണയിക്കപ്പെട്ടു. ആ കാലഘട്ടത്തിൽ സാധാരണ രീതിയിലുള്ള ബീജഗണിത രീതികളിലൂടെ വേർതിരിച്ചെടുക്കാൻ സാധിച്ചില്ല: x ² = 9 ന്റെ അത്തരത്തിലുള്ള മൂല്യമില്ല. വളരെക്കാലം ഇത് വളരെ പ്രാധാന്യം അർഹിക്കുന്നില്ല. പതിനാറാം നൂറ്റാണ്ടിൽ മാത്രം സമചതുരാകൃതിയിലുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ പ്രത്യക്ഷപ്പെട്ടു തുടങ്ങിയപ്പോൾ, നെഗറ്റീവ് നമ്പറുകളുടെ സ്ക്വയർ റൂട്ട് വേർതിരിച്ചെടുക്കേണ്ടത് ആവശ്യമായി വന്നു. കാരണം ഈ ആശയങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള സൂത്രവാക്യം ക്യുബിക്, മാത്രമല്ല ചതുര വേരുകളെയും ഉൾക്കൊള്ളുന്നു.

സമവാക്യത്തിൽ ഒരു യഥാർത്ഥ റൂട്ട് ഉണ്ടെങ്കിൽ അത്തരമൊരു സൂത്രവാക്യം നിഷ്ഫലമാകുന്നു. സമവാക്യത്തിലെ മൂന്ന് യഥാർത്ഥ വേരുകൾ സാന്നിദ്ധ്യത്തിൽ അവർ സൌഖ്യം പ്രാപിച്ചപ്പോൾ നെഗറ്റീവ് മൂല്യമുള്ള ഒരു നമ്പർ ലഭിച്ചു. അതിനാൽ, മൂന്നു വേരുകൾ വേർതിരിച്ചെടുക്കാനുള്ള മാർഗ്ഗം ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ കാഴ്ചപ്പാടിൽ നിന്ന് അസാധാരണമായ പ്രവർത്തനത്തിലൂടെയാണ് കടന്നുപോകുന്നത്.

തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന വിരോധാഭാസം വിശദീകരിക്കാൻ, ഇറ്റാലിയൻ ബീജഗണിതാവായ ജെ. കാർഡാനോ ഒരു സങ്കീർണ സംഖ്യകൾ എന്ന പുതിയ വിഭാഗത്തെ അസാധാരണ സ്വഭാവം കൊണ്ടുവരാൻ ആവശ്യപ്പെട്ടു. കാർഡാനോ സ്വയം അവയെ ഉപയോഗശൂന്യമായി കണക്കാക്കിയിട്ട് രസകരമാണ്. അത് നിർദേശിച്ച അതേ ഗണിത വിഭാഗത്തെ ഒഴിവാക്കാൻ എല്ലാ സാധ്യമായ മാർഗങ്ങളിലൂടെയും ശ്രമിച്ചു. എന്നാൽ 1572 ൽ മറ്റൊരു ഇറ്റാലിയൻ ബീജിയായ ബോംബെലി എന്ന പുസ്തകത്തിന്റെ ആവിർഭാവം കണ്ടെത്തി, സങ്കീർണമായ സംഖ്യകളുടെ പ്രവർത്തനങ്ങളെക്കുറിച്ച് വിശദമായി വിശദീകരിച്ചു.

പതിനേഴാം നൂറ്റാണ്ടിൽ ഈ സംഖ്യകളുടെ ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ സ്വഭാവവും ജേമെട്രിക് വ്യാഖ്യാനത്തിന്റെ വ്യാപ്തിയും തുടർന്നു. കൂടാതെ, അവരോടൊപ്പം പ്രവർത്തിക്കുവാനുള്ള സാങ്കേതികവിദ്യ ക്രമേണ വികസിക്കുകയും മെച്ചപ്പെടുകയും ചെയ്തു. 17-ഉം 18-ഉം നൂറ്റാണ്ടുകൾക്ക് ശേഷം സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകൾ ഒരു പൊതു സിദ്ധാന്തം സൃഷ്ടിച്ചു. സങ്കീർണ്ണമായ വേരിയബിളിന്റെ പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ വികസനവും മെച്ചപ്പെടുത്തലും ഒരു വലിയ സംഭാവന റഷ്യൻ, സോവിയറ്റ് വിദഗ്ദ്ധർ അവതരിപ്പിച്ചു. NI Muskhelishvili ഇലാസ്റ്റിറ്റി തിയറി പ്രശ്നങ്ങളുടെ പ്രയോഗത്തിൽ ഏർപ്പെട്ടിരുന്നു, Keldysh ആൻഡ് Lavrentyev ജലവൈദ്യുത മേഖലയിൽ സങ്കീർണ്ണ എണ്ണം നമ്പറുകൾ കണ്ടെത്തി, ക്വാണ്ടം ഫീൽഡ് സിദ്ധാന്തത്തിലെ Vladimirov ആൻഡ് Bogolyubov.