ഒരു ചതുർഭുജത്തിന്റെ പ്രദേശം എങ്ങനെ കണ്ടെത്താം?

മുമ്പത്തെ ഒരു അറ്റത്ത് അവസാനിക്കുന്ന ഓരോ ബിന്ദുവും ആരംഭിക്കുന്ന ഒരു വ്യവസ്ഥിതിയിൽ നിങ്ങൾ ഒരു കൂട്ടം സെഗ്മെന്റുകളെ വലിച്ചിടുകയാണെങ്കിൽ, നിങ്ങൾക്ക് ഒരു തകർന്ന വരി ലഭിക്കും. ഈ സെഗ്മെന്റുകൾ ലിങ്കുകൾ എന്നു വിളിക്കുന്നു, അവയുടെ കവലയുടെ സ്ഥാനങ്ങൾ ബലി ആണ്. ആദ്യ സെഗ്മെന്റിന്റെ അവസാനം ആദ്യത്തേത് ആരംഭിക്കുമ്പോൾ, ഞങ്ങൾ രണ്ടു ഭാഗമായി വിഭജിച്ചിരിക്കുന്ന ഒരു അടച്ച ബ്രേക്ക് ലൈൻ നൽകുന്നു. അവയിൽ ഒരെണ്ണം കുറവാണ്, രണ്ടാമത്തേത് അനന്തമാണ്.

ഒരു ലളിതമായ അടച്ച ലൈനും അതിനടുത്തുള്ള വിമാനത്തിന്റെ ഭാഗവും (പരിമിതമായത്) ബഹുഭുജനം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. സെഗ്മെന്റുകൾ വശങ്ങളാണ്, അവ രൂപം നൽകിയ കോണുകളാണ് കോർട്ടുകൾ. ഏത് ബഹുഭുജത്തിന്റെയും വശങ്ങളുടെയും എണ്ണം അതിന്റെ തിട്ടകളുടെ എണ്ണം തുല്യമാണ്. മൂന്ന് വശങ്ങളുള്ള ഒരു ആഖ്യ്യം ത്രികോണമാണ്, നാല് ഒരു ചതുരം. സംഖ്യയുടെ വലിപ്പത്തെ സൂചിപ്പിക്കുന്ന പ്രദേശം പോലെയാണ് ബഹുഭുജങ്ങളുടെ എണ്ണം കണക്കാക്കുന്നത്. ഒരു ചതുർഭുജത്തിന്റെ പ്രദേശം എങ്ങനെ കണ്ടെത്താം? ഇത് ഗണിതശാസ്ത്ര ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ വിഭാഗമാണ്.

ചതുർഭുജത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്താൻ ചാവി അല്ലെങ്കിൽ നോൺ കോണെക്സ് എന്ന എതരം തരം അറിയണം. ഒരു കുത്തുവാക്ക് ബഹുഭുജം ഒരു വശത്ത് ഒരു നേർരേഖയിൽ (പൂർണ്ണമായും അതിന്റെ വശങ്ങളിൽ ഒന്ന് ഉൾക്കൊള്ളുന്നു) ഒരു വശത്ത് സ്ഥിതിചെയ്യുന്നു. കൂടാതെ, സാദൃശ്യമുള്ള തരത്തിൽ തുല്യ തലവും പരസ്പരം എതിർ വശങ്ങളും ഉള്ള ഒരു സമാന്തര ചതുരംഗം (പലതരം: ഒരു ദീർഘചതുരം, വലത് കോണുകൾ, സമചതുര അകലത്തിലുള്ള സമചതുരം, വലത് കോണുകൾ, നാല് തുല്യ വശങ്ങളുള്ള ഒരു ചതുരം), രണ്ട് സമാന്തര വിപരീത വശങ്ങളുള്ള ട്രപസെസോയിഡ് രണ്ട് ജോഡി സമീപമുള്ള വശങ്ങളുള്ള ഡെൽറ്റോയ്ഡ്, അവ തുല്യമാണ്.

ത്രികോണങ്ങളായി മുറിച്ചുകൊണ്ട് ഓരോ രീതിക്കും ഒരു ഏകപക്ഷീയ ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണക്കാക്കുകയും അതിന്റെ ഫലം കൂട്ടിച്ചേർക്കുകയും ചെയ്യുന്ന രീതിയാണ് ബഹുഭുജത്തിന്റെ എല്ലാ മേഖലകളും കാണപ്പെടുന്നത്. ഏത് കോണോക്സ് ചതുർഭുജവും രണ്ടോ മൂന്നോ ത്രികോണങ്ങളോടുകൂടിയ രണ്ട് ത്രികോണങ്ങളായി വിഭജിക്കപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. ഈ കേസിൽ അതിന്റെ വിസ്തൃതിയും ഫലങ്ങളുടെ വ്യത്യാസവും അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു. ഏതൊരു ത്രികോണത്തിന്റെയും വിസ്തീർണ്ണം താഴെയുള്ള (a) അടിയിൽ താഴെയായി ഉയരുന്ന (ħ) ഉൽപന്നത്തിന്റെ പകുതിയോളം ആയി കണക്കാക്കുന്നു. കണക്കുകൂട്ടുന്നതിനായി ഈ കേസിൽ ഉപയോഗിയ്ക്കുന്ന ഫോർമുല ഇങ്ങനെ എഴുതപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു: S = ½ • a • .

ഒരു ചതുരശ്രകോളത്തിന്റെ പ്രദേശം എങ്ങനെ കണ്ടെത്താം, ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു സമാന്തര ഇടം? അടിസ്ഥാന (എ), നീളം (ƀ) നീളം, അടിസ്ഥാനവും വശവും (sinα) രൂപംകൊള്ളുന്ന α കണ്ടുപിടിക്കുക, S = a • ƀ • sina. Α = ƀ) അതിന്റെ സമാലം (ħ = ƀ) എന്ന സമാന്തര ചാലകത്തിന്റെ ആവർത്തനമാണ് കോണിലെ sine ആയതെങ്കിൽ, ആ വരി അടിസ്ഥാനം ലംബമായി ലംബമാക്കിയിരിക്കുന്നു, അതിനു ശേഷം അതിന്റെ പരിധി ഉയരുമ്പോൾ അതിന്റെ ആധിപത്യം കണക്കാക്കുന്നു: S = a • . ഒരു ഡയമണ്ട്, ദീർഘചതുരം എന്നിവ കണക്കാക്കാൻ, ഈ ഫോർമുല അനുയോജ്യമാകും. ഒരു ചതുരത്തില് സൈഡ് the ഉയരുമ്പോള്, അതിന്റെ വിസ്താരം S = a • എന്ന ഗണത്തില് കണക്കുകൂട്ടുന്നു. സമചതുരത്തിന്റെ സമചതുരത്തിന്റെ കാരണം, a = ƀ, അതിന്റെ വശത്തിന്റെ സമചതുരത്തിനു തുല്യമാണ്: S = a • a = a². ട്രാപ്സോയ്ഡ് വിസ്തീർണ്ണം അതിന്റെ വശങ്ങളുടെ പകുതിയോളം ഉള്ളതായി കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു, അത് ഉയരം വർദ്ധിപ്പിക്കും (ഇത് ട്രെപെസിയം ലംബമായി അടിയിലേക്ക് ആകർഷിക്കപ്പെടുന്നു): S = ½ • (a + ƀ) • ħ.

അതിന്റെ വശങ്ങളുടെ ദൈർഘ്യം അജ്ഞാതമായിരുന്നെങ്കിൽ അതിന്റെ ചതുരഗണം (ഇ), (f) എന്നിവയെല്ലാം എങ്ങനെയാണ് അറിയപ്പെടുന്നത്, എങ്ങനെയാണ് ആംഗിൾ α ന്റെ സിൻ? ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, പ്രദേശം അതിന്റെ ഡിഗ്രണുകളുടെ പകുതിയോളം (ബഹുഭുജത്തിന്റെ വലതുഭാഗങ്ങളുമായി ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന രേഖകൾ) ആയി കണക്കാക്കുന്നു. ഫോര്മുല താഴെ പറയുന്ന രൂപത്തില് എഴുതാം: S = 1 • (e • f) • sina. പ്രത്യേകിച്ച്, ഈ കേസിൽ രശ്മികളുടെ വിസ്താരം ദ്വാരം വരുന്ന പകുതി വരെയായിരിക്കും (രംബംബത്തിന്റെ എതിർ വശങ്ങളുമായി ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന വരകൾ): S = ½ • (e • f).

ഒരു സമാന്തര ചാലകം അല്ലെങ്കിൽ ട്രാപ്സോയ്ഡ് അല്ലാത്ത ഒരു ചതുരകോശത്തിന്റെ പ്രദേശം എങ്ങിനെ ഒരു സാധാരണ ചതുർഭുജധർമ്മം എന്നു വിളിക്കപ്പെടുന്നു. അത്തരമൊരു രൂപത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം അതിന്റെ അർദ്ധ വിസ്തീർണ്ണം (P ഒരു സാധാരണ ശീർഷമുള്ള രണ്ട് വശങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയാണ്), വശങ്ങൾ a, ƀ, c, d എന്നിവയും രണ്ട് വിപരീതകോശങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയും (α + β): S = √ [(P - a) Ƀ) • (പി - സി) • (പി - ഡി) - ഒരു • ƀ • സി • കോസ് ½ (α + β)).

ഒരു വൃത്തത്തിൽ രേഖപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നതും, φ = 180 ° ആണെങ്കിൽ ബ്രഹ്മഗുപ്ത സൂത്രവാക്യം അതിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണക്കുകൂട്ടാൻ ഉപയോഗിക്കുന്നു (ഇന്ത്യൻ ജ്യോതിശാസ്ത്രജ്ഞനും ഗണിതജ്ഞനും 6-7 നൂറ്റാണ്ടുകളിൽ ജീവിച്ചിരുന്ന കാലത്ത്): S = √ [(P - a) • (പി - സി) • (പി - ഡി). ചതുർഭുജം വലയം ചെയ്യപ്പെട്ടിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, (a + c = ƀ + d), അതിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണക്കുകൂട്ടും: S = √ [a · · · c · d] · പാപം ½ (α + β). ഒരു ചക്രം ഒരേ സമയം മറ്റൊരു വൃത്തത്തിൽ രേഖപ്പെടുത്തപ്പെട്ടതാണെങ്കിൽ, താഴെക്കാണുന്ന സൂത്രവാക്യം ഈ വിഭജനം കണക്കാക്കാൻ ഉപയോഗിക്കുന്നു: S = √ [a • ƀ • c • d].